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CALCUL INFINITESIMAL
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CALCUL INFINITESIMAL . 1. See also:Le calcul infinitesimal est le See also:corps See also:des règles et des See also:processus au See also:moyen de lesquels des grandeurs sans interruption variables sont traitées dans l'See also:analyse mathématique. L'"infinitesimal" nommé a été appliqué au calcul parce que la plupart des principaux résultats ont été obtenues la première fois au moyen d'arguments au sujet des quantités "infiniment See also:petites"; See also:les quantités "infiniment petites" ou "infinitesimal" n'ont été vaguement conçues en tant qu'étant ni zéro ni finies mais dans un See also:certain intermédiaire, naissant ou évanescent, état. Il n'y avait aucune nécessité pour See also:cette See also:conception confuse, et elle est venue pour être comprise qu'elle peut être évitée; mais le calcul n'a pas été développé par ses premiers fondateurs selon des principes logiques des notions avec précision définies, et il a gagné des adhérents plutôt par l'impressiveness et la variété des résultats qui pourraient être obtenus en l'employant que par le cogency des arguments par lesquels elle a été établie. Un rapport semblable pourrait être fait en vue de d'autres théories incluses dans l'analyse mathématique, telle, par exemple, comme théorie de série infinie. Plusieurs, peut-être toutes les, théories mathématiques et physiques qui ont survécu ont eu une See also:histoire semblable de historya qui peut être divisée rudement en deux périodes: une période de construction, l'où des résultats sont obtenus à partir des notions partiellement formées, et une période de la See also:critique, l'où les notions fondamentales deviennent progressivement de plus en plus plus précises, et s'avèrent à bases proportionnées pour les constructions précédemment établies sur elles. Chevauchement de See also:ces périodes habituellement. Les critiques de See also:nouvelles théories ne manquent jamais. D'autre See also:part, car E. W. Hobson a dit bon, "la critique See also:convenable des principes fondamentaux provoque presque invariablement la See also:nouvelle construction." Dans l'histoire du calcul infinitesimal the17th et 18èmes siècles étaient principalement une période de construction, le 19ème siècle principalement une période de la critique. I. Nature du calcul. 2. L'See also:apparence dans laquelle les quantités variables se sont présentées aux mathématiciens du 17ème siècle était See also:celle des longueurs des See also:lignes variables. Cette méthode de représenter des quantités variables date du 14èmes siècle, y } metrkal quand elle a été utilisée par See also:Nicole See also:Oresme, qui a étudié représenter-et a après enseigné à l'université de See also:Navarre dans l'atton de See also:Paris de 1348 à 1361. Il a représenté un de deux quantités variables de variabltttte, par exemple le See also: des tangentes a été compris dans le See also:sens que les tangentes de maximum, ou les minimum surgissent quand une certaine équation a l'égale et les Quadruple-racines, et, quand c'est le See also:cas, les courbes par quel ratures. le problème est d'être See also:contact résolu. La réduction de problèmes des maximum et des minimum aux problèmes du contact a été connue à Pappus. Le problème de trouver le secteur d'une courbe a été habituellement présenté sous une See also:forme particulière dans laquelle ce s'appelle le "problème des quadratures." Il a été cherché pour déterminer le secteur contenu entre la courbe, l'See also:axe des abscisses et deux ordonnées, desquelles on était aussi fixe considéré et l'autre que la variable. La recherche de Galilée peut servir comme exemple. Dans cet exemple l'ordonnée fixe disparaît. De cette recherche il peut voir qu'avant l'invention du calcul infinitesimal l'introduction d'une courbe dans des discussions du cours d'aucun phénomène, et le problème des quadratures pour cette courbe, n'étaient pas exclusivement d'importation géométrique; le See also:but pour lequel le secteur d'une courbe a été cherché était souvent de trouver quelque chose qui n'est pas un exemple d'areafor, une longueur, ou un See also:volume ou un centre de la gravité. 3. Les géomètres grecs ont accompli à peu le progrès avec le problème des tangentes, mais ils ont conçu des méthodes pour étudier le problème des quadratures. Un de ces méthodes était See also:crique après appelée la "méthode d'épuisements," et des méthodes le principe sur lequel elle est basée ont été établies dans le lemme mis en tête au See also:livre d'I2th des éléments d'See also:Euclid comme suit: "si du plus See also:grand de deux grandeurs on prenne plus que sa moitié, et du See also:reste davantage que sa moitié, et ainsi de See also:suite, là restera longuement une grandeur moins que plus See also:petit des grandeurs proposées." La méthode adoptée par See also:Archimedes était plus générale. Elle peut être décrite comme clôture de la grandeur à évaluer entre deux autres qui en peut être apportée par un processus défini pour différer de l'un l'autre par moins que grandeur assignée. Un exemple See also:simple de son application est la 6ème proposition du traité d'Archimedes sur la sphère et le See also:cylindre, dans lesquels on le See also:montre que le secteur contenu entre un See also:polygone régulier inscrit en See also:cercle et un polygone semblable entouré au même cercle peut être fait à moins que n'importe quel secteur assigné en augmentant le nombre de côtés du polygone. Les méthodes d'Euclid et d'Archimedes étaient des spécimens des processus limiteurs rigoureux (voir la FONCTION). Les nouveaux problèmes ont présenté par la géométrie See also:analytique et la See also:philosophie normale du 17ème siècle a mené à de nouveaux processus limiteurs. 4. Dans le problème des tangentes le nouveau processus peut être décrit comme suit. Laissez P, P 'soit deux points d'une courbe (voir la fig. 2). Laissez x, y soit les coordonnées de P, et x+Ax, y+Ay ces Differen- de 'P '. La See also:hache de See also:symbole signifie que "la différence de deux tiado:a X" et là est a comme la signification pour le symbole Ay. La fraction Ay/Ax est la tangente trigonometrical de l'See also:angle que marques de pp sécants des 'avec l'axe du x. laissent maintenant la hache être continuellement diminué vers zéro, de sorte que P 'approche continuellement P. See also:If la courbe a une tangente à P que le P sécant P 'approche une position limiteuse (voir le § 33 ci-dessous). Quand c'est le cas que la fraction Ay/Ax tend à une See also:limite, et cette limite est la tangente trigonometrical de l'angle que la tangente à P à la courbe fait avec l'axe du x. à la limite est dénotée par 7x• dy si l'équation de la courbe est du y=f(x) de forme où f est un symbole fonctionnel (voir la FONCTION), puis hache de x de Ly f(x+Ax)f('et = f(x+Ax)f(x) la hache dy de See also:boeuf-Q du dx hm. la limite exprimée par le See also:membre droit de cette équation de définir est souvent écrite le f'(x), et s'appelle "la fonction dérivée" du f(x), parfois le "dérivé" ou "dérivé" du f(x). Quand le f(x) de fonction est une fonction intégrale raisonnable, la See also:division par Ax peut être exécutée, et la limite est trouvée par zéro de substitution pour la hache dans le quotient. Par exemple, si le f(x) = les x2, nous ont f(x+Ax) le f(x) _ (x+Ax)2x22xAx+(Ax)2=2x+Ax, hache et f'(x) de hache de hache = 2x. Le processus de former la fonction dérivée d'une fonction donnée s'appelle la différentiation. La fraction Ay/Ax s'appelle l'"quotient des différences," et sa limite dy/dx s'appelle "le coefficient différentiel de y en ce qui concerne x." Les règles pour former des coefficients différentiels constituent le calcul différentiel. Le problème des tangentes est résolu à une course par la formation du coefficient différentiel; et le problème des maximum et des minimum est résolu, indépendamment de la discrimination des maximum des minimum et de quelques autres améliorations, en égalisant le coefficient différentiel à zéro (voir des MAXIMUM ET LES MINIMUM). 5. Le problème des quadratures mène à un See also:type de limiter le processus qui peut être décrit comme suit: Laissez le y=f(x) être l'équation d'Integra- par courbe, et laissez le C.a. et le BD être les ordonnées des points met. C et D (voir la fig. 3). Laissez a, b soit les abscisses de ces points. Laissez le segment See also:ab être divisé en un certain nombre de segments au moyen de points intermédiaires tels que M, et laissez le manganèse être un tel segment. Laissez le P.m. et le QN être ces ordonnées de la courbe qui ont M et N en tant que leurs pieds. Sur le manganèse comme See also:base décrivez deux rectangles, dont les tailles sont les plus grandes et moindres valeurs de y qui correspondent aux points s r D sur l'See also:arc PQ de la courbe. Dans fig. 3 ce sont les rectangles RM, le SN a laissé la See also:somme des secteurs de tels rectangles que RM soit formé, et de même la somme des secteurs de tels rectangles comme le SN. Un M N $ quand le nombre de la limite de points, et les longueurs de tous les segments tels que le manganèse sont diminués sans limite, ces deux sommes de secteurs tendent aux See also:limites. Quand elles tendent à la même limite la figure See also:curviligne See also:ACDB a un secteur, et la limite est la See also:mesure de ce secteur (voir le § 33 ci-dessous). La limite en question est le même quelque See also:loi puisse être adoptée pour insérer les points tels que M entre A et B, et pour diminuer les longueurs des segments tels que le manganèse plus loin, si P 'est n'importe quel point sur l'arc PQ, et P'M 'est l'ordonnée de P ', nous pouvons construire un rectangle dont la See also:taille est P'MVI 'et la base est manganèse, et la limite de la somme des secteurs de tous tels rectangles est le secteur de la figure en tant qu'avant. Si x est theabscissa de P, x+Ax qui de Q, le x'que de P ', la limite en question pourrait être écrit à lim. f (x')Ax, où les lettres a, b écrit au-dessous d'où les lettres a, b écrit et au-dessus du signe de l'addition indiquent les valeurs extrêmes du x. cette limite s'appelle "l'intégrale définie de f (x) entre les limites a et b," et la See also:notation pour lui est rf(x)dx. Les germes de cette méthode de formuler le problème des quadratures sont trouvés dans les écritures d'Archimedes. La méthode mène à une définition d'une intégrale définie, mais l'application directe d'elle à l'évaluation des intégrales est en général difficile. N'importe quel processus pour évaluer une intégrale définie est un processus de l'intégration, et les règles pour des intégrales d'évaluation constituent le calcul intégral. 6. Le See also:chef de ces règles est obtenu en considérant l'ordonnée extrême BD en tant que variable. Laissez E maintenant dénoter l'abscisse de B. The que la région A de la figure ACDB est représentée par le f(x)dx intégral du théorème J, et c'est une fonction de E. Let BD d'Inver- soit déplacé à B'D 'de sorte que devienne le See also:MENSONGE d'E+ (voir le ab a. fig. 
4) le secteur de la figure ACD'B 'est représenté par le f(x)dx intégral de f+, et l'incrément DA du secteur est donné par la See also:formule AA=j +jf(x)dx, qui représente le secteur BDD'B '. Ce secteur est intermédiaire entre ceux de deux rectangles, ayant comme base See also:commune le segment BB, et comme tailles le plus grand et moindres ordonnées des points sur la densité double d'arc 'de la courbe. Laissez ces tailles être H et h. alors aa est intermédiaire entre HAE et See also:hAl, et le quotient des différences AA/ae est intermédiaire entre H et h. si le f(x) de fonction est continu à B (voir la FONCTION), puis, comme A:: est diminué sans limite, H et h tendent à BD, ou le See also:ao, comme une limite, et nous ont l'aE = le f(t). L'introduction du processus de la différentiation, ainsi que le théorème ici prouvé, a placé la See also:solution du problème des quadratures sur une nouvelle base. Il s'avère que nous pouvons toujours trouver le secteur A si nous savons une fonction F (x) qui a le f(x) en tant que son coefficient différentiel. Si le f(x) est continu entre a et b, nous pouvons nous avérer que cette hache de dx de dF(x)) 'on dit que nous intégrons le f(x) de fonction, et F(x) s'appelle l'intégrale indéfinie du f(x) en ce qui concerne x, et est écrit (f(x)dx. 7. En cours de § 4 the/increment Ay n'est pas en général égal au produit de la hache d'incrément et du f'(x) dérivé de fonction. En général nous pouvons noter une équation de la forme Ay = f'(x)Ax+R, dans lequel R est différent de zéro quand la hache est différente de zéro; et alors nous avons non seulement le boeuf de lim. ou = o, mais également l'oxco, R = o. Nous pouvons séparer Ay dans deux parts: seule la hache de f'(x) de pièce et la hache de f'(x) de pièce de R. The de pièce est utile pour former le coefficient différentiel, et il est commode de lui donner un nom. Ce s'appelle le différentiel du f(x), et est écrit le df(x), ou dy quand y est écrit pour le f(x). Quand cette notation est adoptée le dx est écrit au See also:lieu de la hache, et s'appelle le "différentiel de x," de sorte que nous ayons le df(x) = le f'(x)dx. Ainsi le différentiel d'une variable indépendante telle que x est une différence finie; en d'autres termes ce veuillez être tout nombre nous. Le différer ential d'une variable dépendente telle que y, ou d'une fonction de la variable indépendante X, est le produit du différentiel de x et du coefficient différentiel ou de la fonction dérivée. Il est important d'observer que le coefficient différentiel ne doit pas être défini comme rapport des différentiels, mais le rapport des différentiels doit être défini comme coefficient différentiel précédemment présenté. A SA des différentiels D Ds A = FF (x)dx = F (b) F (a). Quand nous identifions une fonction F(x) qui a la propriété exprimée par les différentiels d'équation. sont l'une ou l'autre différences finies, ou sont tellement de certaines différences finies comme soyez utile pour former des coefficients différentiels. Laissez encore F(x) être l'intégrale indéfinie d'un f(x) de fonction continue, de sorte que nous ayons le dF(x) = le f(x), f1(x)dx=F(b) - F (a). dx quand les points M du processus expliqué dans le § 5 sont insérés entre les points dont les abscisses sont a et b, nous pouvons les prendre pour être n I en nombre, de sorte que le segment ab soit divisé en segments de n. Laissez x3, x2... x"-1 soit les abscisses des points dans l'See also:ordre. L'intégrale est la limite du f(a) de somme (xi-a) +f(xi) (x2-x,)+... +f(xr) (x, +r-xr) +... +, f(xn-1)(b-x"-1), dont chaque limite est un différentiel de la forme f(x)dx. promeuvent l'intégrale est égal à la somme de différences IF(x)-F(a)1+IF(x2)-F(x:)1+... +IF(xr+1)-F(xr)1 +... +IF(b)-F(x"-)I, pour cette somme est F(b)-F(a). Maintenant la différence F(xr+I)-F(xr) n'est pas égale au 1(xr) différentiel (xr+r-xr), mais la somme des différences est égale à la limite de la somme de ces différentiels. Le différentiel peut être considéré aussi tellement de la différence qu'est prié de former l'intégrale. De ce point de vue un différentiel s'appelle un élément différentiel d'une intégrale, et l'intégrale est la limite de la somme d'éléments différentiels. De manière semblable le ydx différentiel d'élément du secteur d'une courbe (le § 5) n'est pas le secteur de la See also:partie contenue entre deux ordonnées, toutefois près d'ensemble, mais est tellement de ce secteur pendant que le besoin soit maintenu afin de trouver le secteur de la courbe par le processus limiteur décrit. 8. La notation du calcul infinitesimal est intimement liée aux notions des différentiels et des sommes d'éléments. La See also:lettre "d" est la lettre initiale de la notation de differentia de mot (différence) et le symbole "f" est un "S par See also:convention écrit," la lettre initiale du summa de mot (somme ou entier). La notation a été présentée par See also:Leibnitz (voir le §§ 25-27, ci-dessous). 9. L'artifice fondamental du calcul est l'artifice de former des différentiels sans les premiers coefficients différentiels de formation. D'une équation de fonds contenant x et y nous pouvons déduire une nouvelle équation, mentale contenant également le boeuf et l'Ay, par x+ax de substitution pour x Artifice. et y+'y pour le y. s'il y a un coefficient différentiel de y en ce qui concerne x, alors Ay peut être exprimé sous la forme O.:~x+R, où lim.y, =0(R/Ox) = o, en tant que dans le § 7 ci-dessus. L'artifice consiste en rejetant ab initio toutes les limites de l'équation qui appartiennent à R. We ne forment pas R du tout, mais seulement See also:sp.Ox, ou dx de ~., qui est le différentiel dy. De la même manière, dans toutes les applications du calcul intégral à la géométrie ou à la mécanique nous formons l'élément d'une intégrale comme l'élément du dx de y. de secteur est formé. Dans fig. 3 du § 5 l'élément du dx de y. de secteur est le secteur du rectangle RM. Le secteur réel de la figure curviligne PQNM est plus grand que le secteur de ce rectangle par le secteur de la figure curviligne PQR; mais l'excès est moins que le secteur du rectangle PRQS, qui est mesuré par le produit des See also:mesures numériques de manganèse et de QR, et nous ont le manganèse. QR lim.See also:MN-o manganèse = o. Ainsi l'artifice par lequel des éléments différentiels des intégrales sont formés est en principe identique à celui par lequel des différentiels sont formés sans les premiers coefficients différentiels de formation. à. Ce principe est habituellement exprimé en présentant la notion des ordres de petites quantités. Si x, y sont deux See also:nombres variables qui sont des ordres de relié ensemble par n'importe quelle relation, et si quand x tend à petit zéro y également tend à zéro, la fraction y/x peut tendre à une limite finie de quantités. Dans ce cas-ci x et y seraient "du même ordre." Quand ce n'est pas le cas nous pouvons avoir im x 4 = 0, ou lim.x_Ox = o. Dans l'ancien cas y serait "d'un ordre inférieur" que x; dans le dernier cas y serait "d'un ordre plus supérieur" que le x. selon cette notion que nous pouvons dire que l'artifice fondamental du calcul infinitesimal consiste en rejet de petites quantités d'un ordre inutilement supérieur. Cet artifice est maintenant simplement un incident dans la conduite d'un processus limiteur, mais au 17ème siècle, en limitant des processus autres que les méthodes grecques pour des quadratures étaient nouveaux, l'introduction de l'artifice était une grande avance. n. Par l'aide de cet artifice, ou directement en suivant les processus limiteurs appropriés, nous pouvons obtenir les règles par lesquelles des coefficients différentiels sont formés. Ces règles peuvent beiclassified en tant que "des règles formelles" et "résultats particuliers." Les règles formelles peuvent être énoncées comme suit: (i.) le coefficient différentiel d'une See also:constante est zéro. (ii.) pour une somme u+v+... dx de dz de +z, où u, v... sont des fonctions de x, de d(u+v+... +z) du dv - • de dx+dx+. • +•(iii.) Pour un dv + un du dx UV - udx de d(uv) de produit '(iv.) Pour un quotient u/v d(u/v) (du dv vdx-udx v \/2 dx. (v.) pour une fonction d'une fonction, c'est-à-dire, pour une fonction exprimée en termes de z variable, qui lui-même est exprimé comme fonction de x, dx dy_dy de dz de dx- de dz en plus de ces règles formelles nous prenons des résultats particuliers quant à la différentiation des fonctions simples. Les résultats les plus importants sont notés dans le nxnt dy suivant de xn de dx de la table Y pour toutes les valeurs n See also:loge du logax de X 'comme 'péché X See also:cos X cos X de loggia - le péché IX du péché X (I x2)-4 bronzent-'x (1 +x2) 'chacune des règles formelles, et chacun des résultats particuliers dans la table, est un théorème du calcul différentiel. Toutes les fonctions (ou plutôt expressions) qui peut se composer de ceux dans la table par un nombre fini d'opérations d'addition, soustraction, multiplication ou division peuvent être différenciées par les règles formelles. Toutes telles fonctions s'appellent les fonctions explicites. En plus de ces derniers nous avons des fonctions implicites, ou comme sont déterminés par une équation contenant deux variables quand l'équation ne peut pas être résolue afin d'exhiber l'une variable exprimée en termes d'autre. Nous avons également des fonctions de plusieurs variables. De plus, puisque la fonction dérivée d'une fonction donnée est elle-même une fonction, nous pouvons chercher à la différencier, et là surgissent ainsi les deuxièmes et plus élevés coefficients différentiels. Nous remettons pour le présent les problèmes à plus tard du calcul différentiel qui résultent de ces considérations. Encore, nous pouvons avoir des fonctions explicites qui sont exprimées comme résultats de limiter des opérations, ou par les limites des résultats obtenus en exécutant un nombre See also:infini d'opérations algébriques sur les fonctions simples. L'information et commentaires additionnelsIl n'y a aucun commentaire pourtant pour cet article.
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