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MAGISCHES QUADRAT

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Ursprünglich, erscheinend in der Ausgabe V17, Seite 313 von der Enzyklopädie 1911 Britannica.
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MAGISCHES QUADRAT , ein Quadrat teilte sich in gleiche Quadrate, wie einen Chess-board, in von dem jedem wird einer einer See also:

Reihe fortlaufender Nummern von 1 bis zum Quadrat See also:der Zahl Zellen in eine See also:Seite gelegt, derart daß die Summe der See also:Zahlen in jeder Reihe oder in See also:Spalte und in jeder Diagonale konstant ist. Von einer sehr frühen Periode engagierten sich diese Quadrate die See also:Aufmerksamkeit der Mathematiker, besonders wie besaß eine Liebe vom erstaunlichen, oder gesucht, für selbst einen superstitious Respekt zu gewinnen. Sie sollten dann magische Eigenschaften besitzen und wurden, wie in See also:Indien See also:am anwesenden See also:Tag, engraven im See also:Metall oder im See also:Stein, als amulets oder talismans See also:getragen. Entsprechend den alten astrologers subsisted Relationen zwischen diesen Quadraten und den See also:Planeten. In den neueren Zeiten ordneten solche Quadrate nur als mathematische Kuriositäten; bis schließlich wurde ihr Modus See also:des Aufbaus systematisch nachgeforscht. Der früheste bekannte Verfasser auf dem Thema war Emanuel Moscopulus, ein See also:Grieche (4. oder See also:5. See also:Jahrhundert). See also:Bernard Frenicle de Bessy konstruierte Magiequadrate so, daß, wenn man oder mehr der Umkreisenbänder von Zahlen weggenommen werden, die restlichen zentralen Quadrate noch magisch See also:sind. Nachher konstruierte Poignard Quadrate mit Zahlen in arithmetischem Pro1Ì 300 217 232 249 8 25 40 57 72 89 104 136 153 z68 z85 58 39 26 7 250 231 2.8 z49 186 167 154 135 I22 103 90 71 198 219 230 251 6 27 38 59 70 91 10Z 123 134 155 z66 z87 õ 37 28 5 252 229 220 197 z88 z65 z56 133 124 101 92 69 201 sz6 233 248 9 24 41 56 73 88 105 120 137 z5z 169 184 55 42 z3 10 247 234 215 202 183 770 z5z 138 119 zo6 87 74 303 214 335 246 II 22 43 54 75 86 107 118 139 150 171 182 53 44 21 12 245 236 213 204 z81 172 149 140 117 io8 85 76 305 212 237 344 13 20 45 53 77 84 109 116 141 148 173 180 51 46 19 14 243 238 211 Schluchzen 179 174 147 142 115 zzo 83. ö 78 207 210 239 2 42 15 18 47 79 82 111 114 143. 146 175 178 49 48 17 z6 241 240 309 208 177 176 145 144 113 112 81 8o 196 221 328 253 4 39 6 6z 6g 93 100 135 132 157 164 189 62 35 30 3 254 z27 222 195 190 763 158 131 336 99 94 67 194 223 226 255 3 31 34 63 66 95 98 127 130 159 16z 191 64 33 32 1 gression 256 225 224 193 192 163 160 129 128 97 96 65, die magischen Summierungen habend. Das spätere erforscht von Phillipe de la Hire, notiert im Memoires de See also:L'Academie Royale 1705, sind interessant als Geben der allgemeinen Methoden des Aufbaus.

Er hat dort die See also:

Resultate der See also:Arbeiten der früheren Pioniere gesammelt; aber das Thema ist jetzt völlig systematisiert worden und verlängert worden auf Würfel. Zwei interessante magische Vorbereitungen werden gesagt, durch See also:Benjamin See also:Franklin gegeben worden zu sein; diese sind benannt worden das "magische Quadrat der Quadrate" und den "magischen Kreis der Kreise.", Das erste (ft. I) ist ein Quadrat, das in 256 Quadrate, See also:d.See also:h. 16 Quadrate entlang einem See also:Zauntritt geteilt wird, in dem werden den Zahlen von 1 bis 256 gelegt. Die Haupteigenschaften dieses Quadrats sind (1) die Summe der 16 Zahlen in jeder möglicher Reihe, oder Spalte ist 2056; (2) ist die Summe der 8 Zahlen See also:zur Hälfte jeder möglicher Reihe oder Spalte 1028, d.h. eine Hälfte von 2056; (3) entspricht die Summe der Zahlen in zwei Hälfte-Diagonalen 2056; (4) die Summe der vier Eckzahlen dem großen Quadrat und den vier zentralen Zahlgleichgestellten Io28; (5) ist die Summe der Zahlen in See also:allen möglichen 16 Zellen des großen Quadrats, das selbst in einem Quadrat abgeschaffen werden, 2056. Dieses Quadrat hat andere neugierige Eigenschaften. Der "magische Kreis der Kreise" (fig. 2) besteht aus acht ringförmigen Ringen und einem zentralen Kreis, jeder See also:Ring, der in acht Zellen durch die Radien geteilt wird, die von der Mitte See also:gezeichnet werden; es gibt folglich 65 Zellen. Die Nr. 12 wird in die Mitte gelegt, und die fortlaufenden Nummern 13 bis 75 werden in die anderen Zellen gelegt. Die Eigenschaften dieser See also:Abbildung schließen das folgende mit ein: (1) ist die Summe der acht Zahlen in jedem möglichem Ring zusammen mit der zentralen Nr. 12 360, die Zahl Grad in einem Kreis; (2) ist die Summe der acht Zahlen, in irgendwie eingestellt von den Radialzellen zusammen mit der zentralen Zahl, 3õ; (3) ist die Summe der Zahlen in allen vier anliegenden Zellen, entweder ringförmig, radial oder Radialstrahl und zwei ringförmig, zusammen mit Hälfte zentralen Zahl, 180. See also:Aufbau des magischen Squares.A-Quadrats von 5 (fig.

3) hat das See also:

Angrenzen er eins der acht See also:gleichen Quadrate, durch die irgendein Quadrat begriffen werden kann umgeben zu werden, von dem jedes zwei Seiten hat, auf anliegenden Quadraten stillzustehen, während vier Seiten haben, auf dem umgebenen Quadrat stillzustehen und vier es nur in seinen vier Winkeln See also:treffen. 1, 2, 3 werden entlang den Weg eines Ritters in See also:Schach gelegt; 4, entlang dem gleichen Weg, würde in eine See also:Zelle des äußeren Quadrats fallen und wird anstatt in die entsprechende Zelle des ursprünglichen Quadrats gelegt; 5 fällt dann innerhalb des Quadrats. a, b, See also:c, d werden See also:diagonal in das Quadrat gelegt; aber See also:e trägt das äußere Quadrat ein und wird darauf zur gleichen Zelle des Quadrats entfernt, das sie See also:verlassen hatte. a, (3, y, 5, e üben einen anderen regelmäßigen Kurs aus; und die Diagrammerscheinen, wie dieser Kurs im Quadrat sie notiert wird, haben zweimal verlassen. Welches der acht umgebenden Quadrate betreten werden kann, wird die entsprechende Zelle des zentralen Quadrats anstatt genommen. Das i, 2, 3, a, b, c, a-,/3, y.... werden gesagt, um "in den Wegen zu liegen.", Quadrate deren Wurzeln Odd.Figs 4 sind, 5 und 6 stellen eine der frühesten Methoden des Konstruierens der magischen Quadrate aus. Hier wurden die Quadrate deren Wurzeln Even..These sind, in den verschiedenen Weisen konstruiert, die der von 4 in figs ähnlich sind. 14, 15 und 16. Die Zahlen in fig. 15, der mit 4 multipliziert wird, und die Quadrate von figs. 14 und 15 legend, Gebenfig. i6. Die Anwendung von a4 20 als dieser Methode zu den Quadraten die Hälfte, deren Wurzeln See also:ungerade seien Sie, erfordert eine schwierige Justage.

Quadrate in deren halber See also:

Wurzel eine Mehrfachverbindungsstelle von 4 ist und, in welchen dort Summierungen entlang allen diagonalen -9 5 - -6 4 25 18 11 7 2 7 -11 4 -: das 3 0 14 20 2 17:a -8 3 8 5 10 13 16 21 10-4 11 7 -10 5 23 9 24 6 3 6 -12 9 19 1 8 16 22 Wege, können gebildet werden sind, indem sie, wie beobachten, wenn die Wurzel 4, daß die Reihe 1 bis 16 in die Reihe 15 geändert werden kann, 13... ist. 3, 1.1.3.... -13, - 15, indem sie jede Zahl mit 2 5 e 4 b 4 ein Y c 3 ç e 7 P d ein 6 7 Li:I 7 3 3 20 24 4 12 ein à 8 4 9 See also:a1 17 5 13 5 a5 Al 27:6 9 18 13 14 das als:8 10 14 l0 als 23 19 6 multiplizieren, ist 19 15 ein 5 3 5 3 3 ein 4 17 See also:m 13 ein 11 9 24 1a 23 3 4 0 3 3 0 als 14 4 20 8 4 3 1 a: ein La 6 7 9 3 16 ein 3 See also:r, t ein Al I1 5 4 3 4 3 0 0 3 13 3 ein 16 l4 22 FIG. 14. FIG., 15, FIG. 16. 4 See also:s 5 3 I 6 4 I: 4 3 3 0 0 4 3 0 3 4 0 4 3 in fig. 4 und 2 in fig. 5 werden in gegenüberliegende Diagonalen gelegt, um die zwei diagonalen Summierungen zu See also:sichern; dann wird jede Zahl in fig. 5 mit 5 multipliziert und hinzugefügt der im entsprechenden Quadrat in fig. 4, der das Quadrat von fig. 6 gibt.

Figs. Gebende la Hires 7, 8 und See also:

g Methode; die Quadrate von figs. 7 und 8, kombinierend, geben das magische Quadrat von fig. 9. C. G. Bachet ordnete die Zahlen wie in fig. ro, in dem es drei Zahlen in jedem von vier umgebenden Quadraten gibt; diese, die in die entsprechenden Zellen des zentralen Quadrats, das Quadrat von fig. 11 gelegt werden, wird gebildet. Er auch See also:con- structed Quadrate so, daß, wenn ein oder mehr äußeren Bänder von Zahlen entfernt werden, die restlichen zentralen Quadrate magisch sind. Seine Methode der Formung sie kann von einem Quadrat von 5 verstanden werden. Hier ist jede Summierung 5X13; wenn folglich 13 subtractedfrom jede Zahl ist, sind die Summierungen See also:null, und die fünfundzwanzig Zellen enthalten die Reihe t 1, t 2, 3.... t 12, wird die ungerade Zelle, die See also:o. das zentrale Quadrat von 3 hat, mit vier der zwölf Zahlen mit + und der Zeichen und null in der Mitte gebildet; das See also:Band wird oben mit dem See also:Rest, wie in fig. 12 gefüllt; dann beingadded 13 in jeder Zelle, das magische Quadrat von fig.

13 wird erreicht. und 17 subtrahierend; und umgekehrt durch das Hinzufügen 17 jedem vom letzten und das Teilen durch 2. Die diagonalen Summierungen eines Quadrats, ausgefüllt wie fig. 17, bilden null; und, dasselbe in den Reihen und die Spalten zu erhalten, müssen wir solche See also:

Werte den p und den q wie zuweisen erfüllen die Gleichungen PU + p2 + Al + See also:a2 = 0, PA + p4 + a3 + a4 = O, p, + Al p3 a3 = O und P2 + p4 a2 a4- = o,a-Lösung, von der ' bereitwillig durch Kontrolle erreicht wird, wie in fig. 18; dieses führt zu das Quadrat, fig. 19. Wenn die Wurzel 8 ist, können die oberen vier Tochterreihen, wie in Fig, 20 sofort geschrieben werden; dann wenn 65 jedem hinzugefügt werden, und die halbierten Summen, wird das Quadrat durchgeführt. In solchen Quadraten, die ungefähr gleiche Diagonale mit zwei gegenüberliegenden Quadraten (außer daß von 4) kann durch jede mögliche Zahl der rechten See also:Winkel, in der gleichen Richtung gedreht werden, ohne die Summierungen zu ändern. See also:Nasik Squares.Squares, der viel mehr Summierungen haben, als in den Reihen, Spalten und Diagonalen von A. H. See also:Frost nachgeforscht wurden (Cambridgemathe _ lour., 1857) und benannte Nasikquadrate, von der See also:Stadt in Indien, in der er lag; und er verlängerte die Methode auf Würfel, dessen verschiedene Abschnitte die gleichen einzigartigen Eigenschaften haben. um ihren Aufbau zu verstehen ist es notwendig zu s s 4 15 5 6 3 33 14 30 20 17 0 4 1 15 1a 10 3 24 16 4 $0 3 10 0 S 5 als 5 AO II 8 22 4 AO O 4 t0 3 5 15 4 bei 5 a0:o 3, die 9 0 18:5 1 a0 als:0 O ein 7 19 13 15 S 3 4 t 14 9 7 2 a ist, Ps -3 a, 7 bei -9 6 bis 13 -15 PA P4 a4 a3 -5 8 - ich I 13 - I 3 3 - a2 - P, 9 - P2 11 ist 5 -13 - a3 - P3 - P4 a4 4:S also 3 - 39 I s -33 -7 37 9 - II 41 ist -13 das:7 -Ì -43 -45 47 55 -19 49 -53 -51 23 61 - a5 29 27 -57 -63 31 59 5 18 6 I 23 19 4 3 63 88 74 13 8 24 53 48 34 II 9 25 51 49 35 61 89 75 52 47 6 ã 87 76 12 7 a6 68 84 73 18 4 23 58 44 33 19 5 '21 59 45 31 69 85 71 57 46 32 67 86 72 17 6 22 64 83 78 14 3 z8 54 43 38 INj 7 29 55 41 39 65 8x 79 56 42 37 66 å 77 16 2 27 ein DC b g See also:f e ein d g c f b e ein c See also:z.B. b d f ein f d b g EG ein e b f z.B. ' d ein b c d e f g 0 h betrachtet es es es es es sorgfältig fig.

Ì, der zeigt, daß, wenn die Wurzel eine höchste Vollkommenheit ist und nicht zusammengesetzt, Zahl, wie 7, acht Buchstaben a, b... h von irgendwelchen, dieselben, Zelle fortfahren kann, annehmen dieses markierte O, jeden Buchstaben wiederholend in den Zellen entlang unterschiedlichen Wegen. Diese acht Wege werden "normale Wege genannt," beobachten ihre Zahl, die eine mehr als die Wurzel ist, hier, daß, ausgenommen von der die Zellen irgendwelche zwei Anfang beschriftet, sie nicht wieder die gleiche Zelle besetzen und daß zwei Buchstaben, abfahrend von allen zwei unterschiedlichen Zellen entlang ent sich Wege unterscheiden, See also:

sieht zusammen in einer und nur einer Zelle aus. Folglich wenn wird p, in die Zellen von einem der normalen Wege n+1 gelegt, enthält jeder der restlichen normalen Wege n eins und nur eins, von diesen p, der s. Wenn jetzt wir jede Reihe mit p füllen, p3. p "im gleichen See also:Auftrag, beginnend vom PU in dieser Reihe, im p2's, in p3's und in der lüge der p"s Willensjede in einem Weg, der dem von p, ähnlich ist, und jede der normalen Wege n ein, dessen Summe P. ähnlich, wenn qi entlang irgendwelche der enthält normales Wege gesetzt wird, unterschiedlich zu dem der p und jeder Reihe, die mit den Buchstaben q2 gefüllt wird als oben, q3 ist. . q,, die Summe der q entlang jedem normalen Weg, der zu dem des qi unterschiedlich ist, ist q., welches die Zellen 5t des Quadrats jetzt gefunden werden, um alle Kombinationen der p und der q zu enthalten; und wenn die q mit n multipliziert werden, die p gleich gebildet i, 2..., Es und die q bis 0, I, 2... (n I) in jedem möglichem Auftrag, das Nasikquadrat von n wird erreicht, und die Summierungen entlang allen normalen Wegen, ausgenommen die, die durch die p überquert werden und q, sind das See also:konstante Enq + der Ep. Wenn die Wurzel eine ungerade zusammengesetzte Zahl, wie 9, 15 ist, &c., wird es gefunden, daß in einigen Wegen, die zu den zwei, entlang denen die PUS und die q1, anstatt jedes der, p und der q zu haben unterschiedlich sind gesetzt wurden, einige wünschen werden, während einige wiederholt werden. So im See also:Fall von 9, treten die Dreiergruppen, p, p4p7, p, p1p8, p3p,;p9 und q, g4g7, g2q, q, g3q, g9, jede Dreiergruppe dreimal, entlang Wegen auf deren Summierung 45 piepen sollte und Er 6. Aber, wenn wir p "122 bilden... entsprechen 129, = I, 3, 6, 5, 7, 9, 8, 2 und das r1, See also:r2... r9 = O, 2, 5, 4, 3, 6, 8, 7, I, dreimal jedes der oben genannten Sätze der Dreiergruppen Ep und Eq beziehungsweise. Wenn jetzt die q mit 9 multipliziert werden und den p in ihren einigen Zellen hinzugefügt, haben wir ein Nasikquadrat, mit einer konstanten Summierung entlang acht seiner 10 normalen Wege.

In fig. 22 sind die Zahlen in der nonary See also:

Skala; daß in der Mitte das See also:mittlere von I bis 92 und die Summe des Paares Zahlen ist, die und gegenüber von den zentralen 45 äquidistant sind, ist zweimal 45; und die Summe jeder möglicher Nr. und der 8 Nr. 3 von ihr, diagonal und in seiner Reihe und in Spalte, ist die konstante Summierung Nasical, z.B. 72 und 32, 22, 76, 77, 26, 37, 6, 27. Die Zahlen in fig. 22, der in der nonary Skala gehalten wird, ist es notwendig, keine neun von ihnen zusammen zu addieren, um die Summierung Nasical zu prüfen; für, die erste Spalte, werden die Abbildungen anstatt der Maßeinheiten nehmend sofort gesehen, um die Reihe, das 1, die 2, das 3...,9 und die die im anderen zu bilden Dreiergruppen des Platzes drei von 6, 1, 5. Für die Quadrate von 15 können die p und die q beziehungsweise I sein, von 2, so, von 8, von 6, von 14, von 15, von II, von 4, von 13, von 9, von 7, von 3, von 12, von 5 und von O, 1, 9, 7, 5, 13, 14, 10, 3, 12, 8, 6, 2, II, wo fünfmal die Summe jeder dritten Zahl und dreimal die Summe jeder 5. Zahl Ep und 2q bildet; dann wenn die q mit 15 multipliziert werden und den p hinzugefügt, wird das Nasikquadrat von 15 erreicht. Wenn die Wurzel die Mehrfachverbindungsstelle von 4 ist, gibt der gleiche Prozeß uns, für das Quadrat von 4, fig. 23. Hier geben die Spalten Ep, aber wechselnd 2q "2q3 und 2q2, 2q4; und die Reihen geben Eq, aber wechselnd 2121, 2123 und 2p2, 2p4; die Diagonalen, die Ep und Eq geben. Wenn p "p2, p3, p4 und q" q2, q3, q4 1, 2, 4, 3 und O ist, 1, 3, 2, haben wir das Nasikquadrat von fig.

24. Ein Quadrat so wird im Buchstaben Sanskrit auf dem See also:

Gatter des Fort von See also:Gwalior, in Indien graviert. Die Quadrate der höheren Mehrfachverbindungsstellen von 4 werden bereitwillig durch eine ähnliche Justage erreicht. Würfel Nasik Cubes.A Nasik besteht aus kleinen gleichen Würfeln n3, hier benannt cubelets sind, in von dem den See also:Mitten die natürlichen Zahlen von i zu n3, also gesetzt, daß jeder See also:Abschnitt des Würfels durch die Flächen, die zu einem See also:Rand senkrecht sind, die Eigenschaften eines Nasikquadrats hat; auch Abschnitte durch die Flächen senkrecht zu einem See also:Gesicht und zum Überschreiten durch die cubeletmitten irgendeines Weges der Summierung Nasical in diesem Gesicht. Fig. 25 zeigt durch See also:Punkte die Weise, in der diese Würfel konstruiert werden. d39, 15294 X293 1491 1'292 p, 9z 1'4 94 75372/' 39a 15291 15193 ~, qa 734 92 15394 15 4 14 1I IO 5 8 3 16 13 6 9 7 I2 p7q, r, werden in das andere Würfel-läßt vom Rand AO gelegt, und auf die gleiche Weise zerstreut, da cubelet Awl. Every dann gefunden wird, um eine andere See also:Kombination der p, der q und der r zu enthalten. Wenn folglich d p sein bilden gleich zu i, 2, 7, und d q und sein zu O, i, 2... 6, in irgendein Auftrag, und d q multiplizieren durch 7, und d r durch 72, dann, wie in d Schachtel von d Quadrat, d 73 cubelets werden enthalten d Zahl von i bis 73, und d Nasical Summierung werden sein E72r+-E7q + P. wenn 2, 4, 5 sein Wert von r, p, q, d Zahl für dies cubelet sein See also:schreiben 245 in d septenär Skala, und wenn all d cubelet Zahl sein halten folglich, d Weg entlang welch Summierung sein See also:finden da die sieben Zahlen 1, 2, 3... 7 im Maßeinheitsplatz und O enthalten würden, 1, 2. . .

6 in jedem der anderen Plätze. In allen Nasikwürfeln wenn solche Werte zu den Buchstaben auf dem zentralen cubelet gegeben werden, daß die Zahl das mittlere der Reihe I zu n3 ist, ist die Summe aller Paare von Zahlen gegenüber von s 8 29 28 II 14 23 18 30 27 7 Ì 20 9 16 4 5 32 25 10 15 22 19 31 26 3 6 24 17 12 13 und äquidistant von zur mittleren Zahl das Doppelte von ihr. Auch wenn um einen Nasikwürfel die sechsundzwanzig umgebenden gleichen Würfel mit ihren Zellen gesetzt werden, die mit den gleichen Zahlen gefüllt werden, und ihre entsprechenden Gesichter, welche die gleiche Weise, und wenn der umgebende See also:

Raum wird begriffen folglich, füllte mit ähnlichen Würfeln und einer geraden Geraden der unbegrenzten Länge wird gezeichnet durch alle mögliche zwei cubeletmitten See also:schauen, wird man in jedem irgendwelcher zwei Würfel, die Zahlen entlang dieser See also:Linie gefunden, um in den Gruppen von sieben zu wiederkehren, die zusammen (ausgenommen in die drei Fälle, in denen das gleiche p, q oder r in der See also:Gruppe wiederkehren), die Summierung Nasical des Würfels bilden Sie. See also:Weiter wenn wir nehmen, füllte er ähnlich Nasikwürfel von n, neue Buchstaben n, s "s2... s,, kann sein, also gelegt, ist eins in jedes der cubelets n4 dieser Gruppe n-Würfel, daß jedes eine unterschiedliches Kombination der p enthält, q, und s. Dieses wird getan, indem man s1 auf jedes des N2cubeletso£ der erste Würfel, daß 30 21 6 15 28 19 7 16 29 20 5 14 22 31 8 35 18 27 9 6 17 26 13 4 32 23 2 11 34 25 1 10 33 24 3 12 See also:pl enthalten, und auf das N2cubeletsoI 2d, die 3d... und der nth Würfel, die plc p3 enthalten... p, beziehungsweise setzt. Dieser Prozeß wird mit s2 wiederholt und fängt mit dem Würfel, an dem wir fertigwurden, und so weiter mit den anderen s an; die cubelets n4, nachdem sie die q multipliziert haben, r und s ist vorbei, N2 und n3 beziehungsweise, werden jetzt gefüllt mit den Zahlen von i zu n4, und die konstante Summierung ist n3s + n2r + Enq + P., die dieser Prozeß ohne See also:Begrenzung an getragen werden kann; für, wenn ist, werden Würfel in eine Reihe mit ihren Gesichtern gelegt, die auf einander stillstehen, und in die entsprechenden Gesichter, welche die gleiche Weise schauen, ist solche Parallelepipeds konnten nebeneinander gesetzt werden, und die cubelets n5 dieses festen Quadrats sind Nasically, das durch die See also:Einleitung eines neuen Buchstaben t gefüllt wird; während, indem man einen anderen Buchstaben vorstellte, die Nr.cubelets des zusammengesetzten Würfels von n3 Nasik B C 23 10 19 14 6 II 28 5 24 17 4 22 13 2 Ì 9 8 20 15 25 12 7 16 3 Würfel durch die Zahlen von i so See also:endlos gefüllt werden konnten zu n6 und. Wenn die Wurzel eine ungerade zusammengesetzte Zahl ist, welche die Werte der drei Gruppen der Buchstaben wie in den Quadraten justiert werden müssen, auch in den Würfeln einer gleichmäßigen Wurzel. Ein ähnlicher Prozeß ermöglicht uns, aufeinanderfolgende Zahlen in die Zellen einiger gleicher Quadrate, in denen die Summierungen Nasical dieselben in jedem sind, wie in fig. 26 zu legen. Unter den vielen scharfsinnigen Quadraten, die von den verschiedenen Verfassern gegeben werden, kann dieser See also:Artikel mit zwei durch L. See also:Euler, in den royale-DES-Wissenschaften Histoire de L'academie (See also:Berlin, 1759) gerade schließen. In fig.

27 zeigen die natürlichen Zahlen den Weg eines Ritters, der innerhalb eines ungeraden Quadrats umzieht, derart daß die Summe von Paaren Zahlen gegenüber und äquidistantem von der mittleren Abbildung sein See also:

Doppeltes ist. In fig. 28 kommt der See also:Ritter zu seiner beginnenden Zelle in einem Quadrat von 6 zurück, und der Unterschied zwischen den Paaren von Zahlen gegenüber und von äquidistantem vom mittleren See also:Punkt ist 18. Ein vorbildliches Bestehen aus sieben Nasikwürfeln, konstruiert von A. H. Frost, ist im Museum SouthKensington. Die Mitten der Würfel werden in gleichen Abständen in eine gerade Geraden, die ähnlichen Gesichter gelegt, welche die gleiche Weise in einer Fläche schauen, die zu dieser Linie parallel ist. Jeder der Würfel hat sieben parallele Glasplatten, zu denen, auf einer Seite, die sieben Zahlen in der septenären Skala örtlich festgelegt sind, und See also:hinter jedem, auf der anderen Seite, seinem Wert in der allgemeinen Skala. 1201, die mittlere Zahl von 1 bis 74, besetzt das zentrale cubelet des mittleren Würfels. Außer jedem Würfel, der separat die gleiche Summierung Nasical hat, wird dieses auch erreicht, indem man die Nr. in allen möglichen sieben ähnlich aufgestellten cubelets, eins in jedem Würfel hinzufügt. Auch die Summe aller Paare Zahlen, in einer geraden Geraden, durch den zentralen Würfel des Systems, äquidistant von ihr, in was Würfel sie sind, ist zweimal 1201. (A. H.

F.) Magie Ring.It Fennells alle ist, die die Zahlen von dem magischen Quadraten beachtet worden, die Verlängerung numeriert, indem sie die Reihen und die Spalten von wiederholt n, um sich zu bilden, ein Quadrat von 211-1 Seiten N2 magischen Quadraten der n-Seiten erbringt, wird geordnet, als ob alle sie ringsum einen See also:

Zylinder eingeschrieben wurden und auch eingeschrieben auf einem anderen Zylinder senkrecht zum ersten. C. A. M. Fennell erklärt diese offensichtliche See also:Abweichung durch das Beschreiben solcher Magiequadrate, die Projektionen Mercators, also zu sagen, "der magischen Ringe" die Oberfläche dieser magischen Ringe symmetrisch in in quadrangular Fächer oder Zellen des N2 durch die äquidistanten zonenartigen Kreise n geteilt wird, die zur kreisförmigen See also:Mittellinie des Ringes parallel sind und durch n-Querkreise, die jede der n-Zonen zwischen allen zwei benachbarten zonenartigen Kreisen in gleiche quadrangular Zellen n teilen, während die zonenartigen Kreise die Abschnitte zwischen zwei benachbarten Querkreisen in ungleiche quadrangular Zellen n teilen. Die Diagonalen der Zellen, die überschreiten einmal nur durch jede See also:Zone und Abschnitt, die See also:Form, die ähnlich sind und die gleichen geschlossenen Kurven einmal, die durchaus ringsum die kreisförmige Mittellinie des Ringes und einmal durchaus ringsum die Mitte des Ringes überschreiten sich folgen. Die Position jeder Zahl wird als der See also:Durchschnitt von zwei Diagonalen seiner Zelle angesehen. Die Zahlen werden leicht wenn der kleinste Kreis auf der Oberfläche des Ringes, der Kreis mit der Mittellinie konzentrisch ist, er einer der zonenartigen Kreise gesehen. In einem vollkommenen magischen Ring, den die Summe der Zahlen den Zellen deren Diagonalen irgendeine der diagonalen vorher erwähnten Kurven 2n bilden, in(n2 + I) mit oder ohne Stufensprung, ist ist d.h., die gleiche Summe wie die der Zahlen in jeder Zone und in jedem Querabschnitt. Aber, wenn n 3 oder eine Mehrfachverbindungsstelle von 3 ist, nur von 2 Tonne der diagonalen Kurven die Summe in der Frage tragen Sie, damit die magischen Ringe unvollständig sind; und irgendwelche stellen von den Zahlen ein, die geordnet werden können, um einen vollkommenen magischen Ring zu bilden, oder Magiequadrat einen unvollständigen magischen Ring auch bilden kann, z.B. See also:las der See also:Satz I bis 16, wenn die Nr. 1, 6, 11, 16 folglich auf einer diagonalen Kurve anstelle in vom Auftrag 1, 6, 16 I t. von einem vollkommenen magischen Ring der N2zellen liegen, die eine Zahl jede enthalten, N2, das eindeutige magische Quadrate er können, weg; wie die vier Zahlen ringsum jeden Durchschnitt eines zonenartigen Kreises und des Querkreises Eckzahlen eines magischen Quadrats festsetzen. Die Form eines magischen Ringes gibt ihm die Funktion einer unbestimmten Verlängerung in allen Richtungen von jedem der vorher erwähnten N2magiequadrate.

(C. A. M. F.) Sehen Sie F. E. A. See also:

Lucas, Erholungmattenhematiques (1891-1894); See also:W.W.R. See also:Kugel, Mathematische Erholungen (1892); W. E. M. G. See also:Ahrens, Mathematische Unterhaltungen und Spiele (1901); H.

C. H. See also:

Schubert, Mathematische Mussestunden (19oo). Eine sehr Einzelheit ist B. Violle, compiet-DES-carrelmagiques Traite (3 vols., 1837-1838). Die Theorie von "Wegnasiks" wird innen eine Flugschrift von C.

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